前言

时间：3月30日

题目与要求：在本次 Python 课程的课后作业中，需要使用 蒙特卡罗方法“手搓”出一个图形。本质上，这是随机模拟与可视化图形的结合，通过模拟次数的大小来观察图形的变化，总结出差异与结论。

蒙特卡罗方法是一种基于随机采样的数值计算方法，其核心思想是在无法直接求解问题时，通过大量的随机实验进行估算。

方法与分析

目标图形

在本次练习中，我选择手搓的目标图形是：爱心-Heart

实现思路

• 确定绘图区域：选择一个二维平面区域，[x_min, x_max] × [y_min, y_max]
• 设定判定函数：写出目标图形对应的数学表达式或逻辑函数，用于判断一个随机点是否“落在图形内部”
• 进行随机投点：
  • 生成大量均匀分布的随机点；
  • 对每个点进行判定；
  • 记录命中图形的点。
• 可视化结果：使用 Matplotlib 绘制命中点和未命中点，直观展现图形边界
  

代码实现

以下是代码实现：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 设置中文字体
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

# 设置随机种子，保证结果可重复
np.random.seed(42)

# 采样点数量
N = 50000

# 随机生成点
x = np.random.uniform(-1.5, 1.5, N)
y = np.random.uniform(-1.5, 1.5, N)

# 判定是否在爱心区域内
def in_heart(x, y):
    return (x**2 + y**2 - 1)**3 - x**2 * y**3 <= 0

# 向量化判断
mask = in_heart(x, y)

# 可视化结果
plt.figure(figsize=(8, 8), dpi=120)
plt.scatter(x[mask], y[mask], color='#FF69B4', s=1, label='内心')
plt.scatter(x[~mask], y[~mask], color='#D3D3D3', s=1, label='外部')

plt.title(f'采样点数量{N}', fontsize=16, color='#C71585')
plt.axis('equal')
plt.axis('off')
plt.legend(loc='upper right', fontsize=10)
plt.tight_layout()
plt.show()

通过指定不同的采样点数量，可以明显感知图片的轮廓清晰程度、随机性、随机误差等等。我分别使用采样点数量为10000、50000、100000、1000000个进行绘制，结果如下。

由上述的图片说明，不同采样点数量所产生图片的噪点不同。

1. N = 10,000：
   • 爱心形状粗略可见，但边缘模糊，灰色背景点较为显眼，图像呈现较高的随机性。
2. N = 50,000：
   • 图形轮廓明显改善，爱心形态较为完整，但仍存在小部分噪点。
3. N = 100,000：
   • 爱心图案更加清晰饱满，边界趋于平滑，图形识别度高，已接近理想图形。
4. N = 1,000,000：
   • 采样点极其密集，图像效果近乎“连续曲面”，几乎无噪点干扰，完美呈现爱心函数本身。

结论

蒙特卡罗方法的核心在于 利用大量随机采样模拟复杂问题的数值解，随着样本点的数量增加，图形将会逐渐接近真实图形，这就是蒙特卡罗的典型特性：慢收敛、强通用、易实现。这个过程不仅帮助我们理解蒙特卡罗方法的基本原理，也揭示了它在复杂几何计算和数值模拟中的强大潜力，是一个将数学原理、计算实践与可视化直觉完美结合的经典入门案例。